c++中的排列的概念

发表于 2024-10-18 分类于算法阅读次数：本文字数： 2.4k 阅读时长 ≈ 2 分钟

1. 什么是排列？

在数学中，排列指的是从一组不同的元素中选出一部分，并按照一定的顺序进行排列。比如，如果你有三个字母 ( {A, B, C} )，那么它们的排列就是：

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

可以看到，每个排列都包括了所有的元素，并且它们的顺序不同。

如果我们不考虑顺序，则称为组合。但本次我们讨论的是排列。

2. 排列的数学定义

如果你有 n 个元素，并且想要从中选择 r个来进行排列，那么排列数公式为：

其中 n! 表示 n 的阶乘，即：

3. C++ 实现排列的基本思路

在 C++ 中，要生成一个集合的所有排列，我们可以使用递归的思想。假设我们有一个数组存储了 ( n ) 个元素，想要生成它们的所有排列。方法如下：

将第一个元素固定，递归排列剩余的元素。
依次交换其他元素到第一个位置，然后递归处理剩下的元素。
当处理到最后一个元素时，得到一个完整的排列。

示例：生成一个数组的所有排列

示例代码：生成所有排列

#include <iostream>
using namespace std;

// 交换两个数
void swap(int &a, int &b) {
    int temp = a;
    a = b;
    b = temp;
}

// 生成排列的递归函数
void generatePermutations(int arr[], int start, int end) {
    if (start == end) {
        // 如果到达了最后一个位置，打印当前排列
        for (int i = 0; i <= end; i++) {
            cout << arr[i] << " ";
        }
        cout << endl;
    } else {
        // 遍历当前子数组，依次固定一个元素，递归处理剩余部分
        for (int i = start; i <= end; i++) {
            // 将第 i 个元素放到当前起始位置
            swap(arr[start], arr[i]);

            // 递归生成后面的排列
            generatePermutations(arr, start + 1, end);

            // 递归完成后，回溯：将数组恢复原状
            swap(arr[start], arr[i]);
        }
    }
}

int main() {
    int arr[] = {1, 2, 3};  // 初始数组
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    cout << "所有排列为：" << endl;
    generatePermutations(arr, 0, n - 1);  // 调用递归函数

    return 0;
}

详细注释与代码讲解：

swap 函数：用于交换数组中两个元素的位置。这是排列生成过程中非常重要的操作，因为我们需要通过交换来调整数组中元素的顺序。
generatePermutations 函数：这是递归生成排列的核心函数。它接收三个参数：
- arr[]：存储要排列的元素的数组。
- start：表示当前处理的起始位置。
- end：表示数组的末尾位置。
  在每次递归调用中，它会固定当前的第一个元素，然后递归生成剩余元素的排列。
回溯：在递归的过程中，元素的位置会不断被交换。当递归返回时，通过再次交换将数组恢复到原来的状态，这个过程称为“回溯”。

输出结果：

4. CSP-J 历年关于排列的题目

中国计算机学会举办的 CSP-J 比赛中，经常会涉及到排列相关的编程题目，以下是一些典型的题目：

题目1：全排列生成

题目描述：

给定一个长度为 ( n ) 的数组，数组中包含 ( 1 ) 到 ( n ) 的整数，要求输出它们的所有排列。

解题思路：

使用递归和回溯的思路来生成所有排列，类似于上面的示例代码。

题目2：字典序排列

题目描述：

给定一个数组，要求按照字典序输出所有可能的排列。字典序的排列顺序与字典中单词的排列方式相似，即按从小到大的顺序进行排列。

解题思路：

首先对数组进行排序，保证初始排列是最小字典序的排列。
然后在每次生成下一个排列时，需要按照字典序规则调整元素的位置。这可以通过手动实现“下一个排列”算法来完成。

题目3：排列的逆序数

题目描述：

给定一个排列，计算其逆序数。逆序数是指排列中出现前面的数大于后面的数的情况的个数。例如：排列 [3, 1, 2] 中，逆序数是 2 （因为 3 > 1, 3 > 2）。

解题思路：

使用双重循环遍历排列，统计逆序数。对于每个元素，计算它后面有多少个比它小的数。

题目4：排列计数

题目描述：

给定 ( n ) 个数，问可以形成多少种不同的排列方式，其中部分数可能是重复的。

解题思路：

这是一个带有重复元素的排列问题。可以通过递归的方式跳过重复的数来避免生成相同的排列。

5. 其他拓展知识

阶乘的递归计算

阶乘 ( n! ) 是排列问题中的一个基本数学运算，C++ 中可以使用递归方式计算阶乘。

示例代码：阶乘的递归计算

#include <iostream>
using namespace std;

int factorial(int n) {
    if (n == 0 || n == 1)
        return 1;
    return n * factorial(n - 1);
}

int main() {
    int n;
    cout << "输入一个数：";
    cin >> n;
    cout << n << "! = " << factorial(n) << endl;
    return 0;
}

输出结果：

输入一个数：5
5! = 120

6. 小结

排列是一种基础的数学问题，要求从一组元素中按照一定顺序选择和排列。
递归与回溯是编程中解决排列问题的重要方法。
不使用 C++ 的标准库（STL）实现排列可以帮助理解递归和算法的本质。
通过例题练习可以更好地掌握排列的编程实现。

在后续的学习中，可以结合更多的题目和场景，进一步加深对排列问题的理解和掌握。